LA ESPIRAL DE FERMAT: GEOMETRÍA ESPACIAL EN EL S. XVII

 

La espiral de Fermat, o doble espiral, que a veces se llama también espiral parabólica, fue propuesta por Pierre de Fermat en 1636 tras encontrar una, toscamente dibujada, en un viejo ejemplar del Dialogue de Galileo. En una carta escrita por Fermat a su amigo Mersenne, ya adelantó la ecuación polar: r² = a²q.

Pierre de Fermat, abogado y matemático francés, a comienzos del siglo XVII había ya realizado importantes avances tanto en teoría numérica como en otros ámbitos de las matemáticas. Tras su casual descubrimiento de 1636, en su obra Ad locos planos et solidos Isagoge, Introducción a los lugares planos y sólidos, completó y superó el trabajo de René Descartes en geometría analítica, y definió varias curvas importantes, tales como la cicloide, o como esta parabólica a la que dedicamos este comentario.

Esta espiral de Fermat o parabólica puede generarse por medio de la ecuación polar r² = a²q, donde r es la distancia de la curva al origen, a es una constante que determina lo comprimida que pueda estar la espiral, y q  es el ángulo polar. Para cualquier valor positivo de q, existen valores negativos y positivos de r, de modo que nos hallamos ante una curva perfectamente simétrica respecto del origen. Fermat estudió también la relación entre el área encerrada por una de las ramas de la espiral, y el eje x a medida que la espiral va girando.

Actualmente, expertos diseñadores gráficos que trabajan con ordenadores utilizan esta curva para plasmar la disposición de las semillas en las flores, tales como margaritas o girasoles. Se pueden por ejemplo,  dibujar puntos cuyas posiciones estén determinadas por las coordenadas r(i) = ki^1/2 y q(i) = 2i p/f, donde f es el número áureo, e i es simplemente un contador que va avanzando: 1, 2, 3, 4…

Esta aproximación gráfica produce muchas ramas diferentes que giran en cualquier dirección del espacio y en cualquier sentido. Es posible trazar varios conjuntos de espirales simétricas, partiendo del centro del modelo, por ejemplo, un conjunto  de 8, 13, o 21 ramas, que son siempre números de Fibonacci como los que describió el matemático italiano en su Liber Abaci, como es sabido, una progresión que se repite muchas veces en la naturaleza, por ejemplo en la pauta reproductiva de los conejos. Vemos pues que las leyes naturales, las matemáticas y hasta el arte, pueden caminar unidas y de hecho lo hacen constantemente. Algo que nunca deja de asombrarnos. 

Ocurre a menudo que limpiando el vaso en el que bebemos, cambia el sabor de la bebida. Bueno, pues con la mente ocurre exactamente lo mismo.