La
fascinación por los números amigos fue
descubierta ya por los pitagóricos de la antigüedad clásica. Se conocen como
números amigos una pareja de números en
la que cada uno de ellos es la suma de los divisores propios del otro, sin
incluir en esos divisores propios al número mismo. La pareja más pequeña de
números amigos es la formada por los números 220 y 284. El número 220 es
divisible por 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 y 110, que suman 284. Por su
parte, el 284 es divisible por 1, 2, 4, 71 y 142, que suman 220.
El astrónomo y matemático Thabit ibn Qurra, que vivió alrededor del año 850, ideó ya entonces una fórmula que puede emplearse para generar números amigos. Se escribe de la forma siguiente:
P = 3 x 2n-1 -1, q = 3 x 2n –1, y r = 9 x 22n-1 -1, para un número entero n>1.
Si
p,
q
y r
son números primos, entonces 2npq y 2nr
son una pareja de números amigos.
Cuando
n = 2, el caso de números más bajos, obtenemos la famosa pareja 220 y 284. Se
sigue luego con n = 3, n = 4, etc. Aquí os dejo una tabla que abarca hasta
cerca de 20.000.000. Desgraciadamente la fórmula no genera todos los números
amigos posibles. En todas las parejas que conocemos, ambos son pares o ambos
son impares. Es todavía un misterio si llegará a descubrirse una pareja de
números amigos en la que uno sea par y el otro impar.
Encontrar
números amigos no es una tarea fácil. En 1747 el gran Leonhard Euler “sólo” fue
capaz de encontrar treinta parejas. Hoy en día, gracias al trabajo de las
computadoras, se conocen más de once millones de parejas, pero sólo 5.001 de
ellas están formadas por dos números menores que 3,06 x 1011.
Una
especie de curiosidad bíblica es que según el Génesis (32:14), Jacob, para reconciliarse con su hermano Esaú, le
regaló 220 cabras. Para muchos gnósticos, se trató de un acuerdo secreto para
sellar la amistad entre ambos mediante los números amigos. También en una
versión de Las mil y una noches se
decía que un árabe del siglo XI dejó escrito haber probado el efecto erótico de
saborear algo marcado con el número 284, mientras su joven amante degustaba
algo marcado con el 220. Y hasta aquí llega la crónica. El profe Bigotini es
demasiado pudoroso para ofrecer noticias más explícitas sobre la naturaleza de
los manjares con que se deleitó la pareja.
Lo peor que puede ocurrirle a cualquiera es que se le comprenda por completo. Carl Gustav Jung.
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