Pi,
que se representa con la letra griega p, es con toda probabilidad
el número irracional más célebre, el más presente tanto en la naturaleza como
en la ciencia y la tecnología, y también el que se conoce desde tiempos más
antiguos. El hecho de que fuera descubierto por diferentes personas de diferentes
culturas, demuestra el carácter universal de las matemáticas. Para reforzar
este carácter de disciplina universal, contamos con otro ejemplo también
relacionado con p. Se trata de su desarrollo en serie, que
también se propuso por matemáticos distintos en contextos diferentes.
El
más antiguo del que tenemos noticia fue el que aparece en el libro escrito por
el matemático indio Nilakantha Somayaji, y que probablemente recoge el trabajo
de algunos matemáticos indios incluso anteriores al siglo XIV, época en que se
publicó el libro. La obra permaneció desconocida en Occidente, hasta que de
forma independiente, el matemático y astrónomo escocés James Gregory dio a
conocer el desarrollo en un trabajo de 1671. Paralela e independientemente, el
científico alemán Gottfried Wilhelm Leibniz publicó la fórmula en 1673, lo que
al decir de muchos, incluso del mismo Newton que nunca le tuvo mucha simpatía,
fue el primero y principal de los grandes logros científicos de Leibniz.
Siguiendo
a Clifford Pickover, las series infinitas, sumas de infinitos números,
desempeñan un papel decisivo en las matemáticas. En una serie tan simple como 1
+ 2 + 3 +…, la suma de todos los términos es infinito. Decimos entonces que la
serie diverge. Llamamos serie alterna a
aquella en que se alternan los términos positivos y negativos. Un caso
particular de estas series alternas, precisamente el que ha fascinado y sigue
fascinando a cualquier matemático, es precisamente el desarrollo
en serie de p,
de la que tratamos. Se trata como es sabido, de la constante que relaciona la
longitud de una circunferencia con su diámetro. Su desarrollo puede expresarse
mediante una fórmula muy sencilla: p/4 = 1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 +…
Nótese
además, que en trigonometría la función arcotangente puede expresarse: arctg(x) = x –x3/3 + x5/5
– x7/7 +… Mediante este desarrollo en serie de potencias del
arcotangente, la serie de p/4 puede obtenerse si
se fija x = 1. Nuestro viejo profe
Bigotini está interesado en aplicar el desarrollo en serie de pi a su asombrosa
nariz.
Nada se parece tanto a la ingenuidad como el atrevimiento. Oscar Wilde.
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