Resulta
relativamente fácil unir diferentes polígonos regulares. Seguro que
todos habéis visto suelos donde encajan baldosas triangulares,
cuadradas, hexagonales... Sin ir más lejos, la arquitectura mudéjar
aragonesa está llena de ejemplos magníficos. Os sugiero que
busquéis una buena imagen de la fachada lateral de la Seo
zaragozana, por ejemplo. Algo más complicado es construir sólidos,
pero también puede hacerse. Los balones de fútbol suelen estar
formados por pentágonos y hexágonos. Sin embargo, construir un
poliedro con un único tipo de polígono regular, resulta mucho más
difícil. De hecho, sólo existen cinco formas de hacerlo. Son los
llamados poliedros regulares o sólidos
platónicos.
Están
el tetraedro, formado por cuatro triángulos; el
octaedro, que tiene ocho; y el icosaedro,
que consta de veinte triángulos equiláteros. Con seis cuadrados se
forma el popular y sencillo cubo, también llamado hexaedro.
Por último, el dodecaedro se construye con doce
pentágonos. Todos ellos pueden utilizarse como dados en los juegos
de azar, ya que si están bien construidos, la probabilidad de
presentar cualquiera de sus caras es idéntica. Los antiguos griegos
estudiaron estos cinco poliedros regulares de forma exhaustiva, a la
vez que trataron inútilmente de encontrar otros que cumplieran sus
mismas propiedades. Naturalmente, no lo consiguieron, porque es
imposible. Platón, nuestro viejo amigo de quien nos ocupamos una vez
en este mismo blog (clic aquí para el enlace) mencionó estos poliedros regulares en su diálogo
Timeo, por eso suele llamárseles también sólidos
platónicos.
Se
cree que fue Teeteto, un contemporáneo de Platón, el
primero en demostrar la inexistencia de otros poliedros regulares
diferentes de los cinco conocidos. El razonamiento que al parecer
utilizó, no puede ser más simple: si más de dos polígonos
equiláteros coinciden, deben hacerlo en un vértice. En este, la
suma de los ángulos de los polígonos coincidentes debe ser menor de
360º. No pueden sumar más, y si la suma fuera 360º justos,
tendríamos un plano. Esta restricción resulta insalvable. Todo
polígono regular de seis o más lados tiene ángulos de al menos
120º. Por lo tanto, no puede usarse ninguno de ellos. Con
triángulos, cuadrados o pentágonos, sólo pueden formarse los cinco
que conocemos. Así que ya está. El profe Bigotini os reta a que
probéis con hexágonos. Siguiendo el razonamiento anterior,
comprenderéis de forma intuitiva que no es posible hacerlo. Con
ángulos de 120 o más grados jamás podrá cerrarse el poliedro, al
menos en nuestro familiar espacio tridimensional.
Otra
curiosidad teórica o utopía geométrica es el célebre ladrillo
de Euler, también llamado el ladrillo
perfecto. Siguiendo la explicación que nos brinda
Richard Elwes en el libro de divulgación matemática dirigido por
Richard Brown, es fácil dibujar un rectángulo en el que sus cuatro
lados sean números enteros. Algo más difícil es conseguir que su
diagonal sea también un número entero. Tomemos un polígono más
simple: el cuadrado. En un cuadrado de 1 cm de lado, la diagonal
tiene 1,41 cm aproximadamente (exactamente, la raíz cuadrada de 2,
según el teorema de Pitágoras). Lo mismo ocurre con todos los
cuadrados: si los lados son números enteros, la diagonal no puede
serlo.
Esto
es igualmente válido para muchos rectángulos, pero hay unos pocos
que sí satisfacen esa condición. Uno de 3 x 4 cm tiene una diagonal
de 5 cm exactos. Hay otro de 5 x 12 cm, cuya diagonal es 13 cm. El
sueño de Euler era un ladrillo (ortoedro) en el que
todas las aristas y las diagonales de las caras fueran números
enteros. El primero de ellos fue descubierto por Paul Halcke en 1719.
Tiene una altura de 44 unidades, una anchura de 117 unidades, y una
longitud de 240 unidades, con lo que las diagonales de las caras son
125, 244 y 267 respectivamente. Desde entonces se han descubierto
otros, pero queda todavía un reto: que la diagonal interna, que va
de uno de los vértices a su opuesto, sea también un número entero.
Este sería el utópico ladrillo de Euler o ladrillo perfecto. Por
ahora no se ha podido encontrar ninguno, es decir, no sabemos si
existe el ladrillo perfecto. Las simulaciones matemáticas por
ordenador han llegado de momento a la conclusión de que si existe
alguno, el menor de sus lados deberá tener una longitud mayor de
1.000.000.000.000 unidades, la cifra más alta en la que hasta ahora
se han quedado los cálculos de las computadoras.
Así
que los matemáticos no han encontrado ningún ladrillo perfecto.
Habrá que preguntar a los albañiles si han llegado a ver alguno. El
profe Bigotini nos pide que concluyamos con esto, no sea que el
ladrillo perfecto se convierta en un perfecto ladrillo.
Arquitectura
moderna es cuando tienes que mantener cerrada la puerta del lavabo
estirando la pierna izquierda.
esto no sire
ResponderEliminarigual esto es como una mierda en mi pantalon
Eliminar