LA ASTROIDE DE OLE ROMER

 

Ole Christensen Romer, físico y astrónomo danés del siglo XVII a quien también se conoce por ser el primero en calcular la velocidad de la luz, fue también, en 1674, el primero en estudiar y describir la astroide, una curva con cuatro vértices trazada por un punto de una circunferencia que rueda como un engranaje, por el interior de otra circunferencia mayor que permanece quieta. En la astroide de Romer, el diámetro de la circunferencia mayor es cuatro veces el diámetro de la menor. El descubrimiento se produjo mientras buscaba formas más eficientes para las ruedas dentadas. Después de Romer, la astroide interesó a talentos tan notables como los de Johann Bernoulli, que se ocupó de ella en 1691, o Leibniz y D’Alembert, que la estudiaron a fondo en 1715 y 1748.

La astroide responde a la ecuación x^2/3 + y^2/3 = R^2/3, donde R es el radio de la circunferencia exterior inmóvil, y R/4 el de la circunferencia interior rotatoria. La longitud de la astroide es 6R, y su área 3pR²/8. Es curioso que la longitud 6R es completamente independiente de p, a pesar de que la astroide se genera mediante circunferencias.

En 1725, el matemático Daniel Bernoulli, hijo de Johann, descubrió que una astroide puede trazarse también con una circunferencia interior cuyo radio sea ¾ el diámetro de la circunferencia mayor fija; y que la curva resultante es en todo idéntica a la que se obtiene con una circunferencia interior cuyo diámetro sea sólo de ¼ del de la fija exterior.

Durante el siglo XX la astroide ha servido a diferentes utilidades. En física, la astroide de Stoner-Wohlfarth se utiliza para caracterizar varias propiedades de la energía y el magnetismo. Y en Estados Unidos se patentó una estructura astroide para un mecanismo de embrague de los automóviles: la astroide proporciona la misma distribución de fatiga que el arco circular equivalente, pero desgasta mucho menos la leva, restándole menos material, y proporcionándole una estructura mucho más sólida.

En geometría se puede representar la astroide como envolvente de una familia de elipses. La envolvente de cualquier familia de curvas es otra curva tangente en algún punto a todas y cada una de las curvas que componen la familia. Otra propiedad muy interesante de la astroide, y muy poco explorada, es que todas las prolongaciones de las tangentes de la astroide hasta tocar los ejes x e y, tienen idéntica longitud. Puede visualizarse esta propiedad si imaginamos una escalera apoyada en una pared en todos los ángulos posibles. El resultado es un fragmento de la astroide.

Al viejo profe Bigotini le habría encantado incorporar un eficiente embrague construido con una astroide, para instalarlo en el flamante automóvil Hispano-Suiza de 1924 con el que soñaba. Lástima que cuando tras largos años de ahorro, al fin logró reunir las tres mil pesetas que costaba, habían dejado ya de fabricar el modelo.

-¿Cómo empezó usted en facebook?

-Pues… por la calle veía a muchas personas tecleando en el móvil, tropezando y chocando contra las farolas, y pensé ¡tengo que probarlo!