EL MÉTODO DE NEWTON, GRÁFICAS CAÓTICAS Y HERMOSOS FRACTALES

 

Las bases matemáticas del llamado método de Newton, fueron descritas por el gran científico inglés en 1669, en su obra De analysi per aequationes numero terminorum infinitas (Acerca del análisis por ecuaciones con un número infinito de términos). Algo más tarde, en 1740, el matemático inglés Thomas Simpson perfeccionó la propuesta de Newton y describió el método como un medio iterativo para resolver ecuaciones generales no lineales por medio del cálculo.

Según Clifford A. Pickover, a quien seguimos en este comentario, el origen de las técnicas computacionales basadas en relaciones de recurrencia, en las cuales cada término de una sucesión se define como una función del término anterior, puede buscarse en el origen mismo de las matemáticas. Los babilonios utilizaron técnicas similares para calcular la raíz cuadrada de un número positivo, y los griegos las utilizaron para hallar un valor aproximado de p. Actualmente, muchas funciones especiales importantes de la física matemática pueden calcularse con fórmulas de recurrencia.

El análisis numérico suele vincularse a la búsqueda de soluciones aproximadas para problemas complejos. El método de Newton es uno de los métodos numéricos más famosos para resolver ecuaciones de la forma f(x) = 0, algunas de cuyas soluciones pueden ser difíciles de hallar mediante métodos algebraicos. El problema de encontrar los ceros de una función, también llamados raíces, por medio de este tipo de métodos, aparece con frecuencia en ciencias e ingeniería.

Para aplicar el método de Newton se comienza dando una primera aproximación numérica de la solución de la raíz; a continuación, la función es aproximada por su tangente en ese punto. Finalmente se determina el punto en que esta recta corta al eje x, obteniéndose un valor que suele ser una mejor aproximación de la raíz. El método se reitera, se va repitiendo para producir aproximaciones sucesivas cada vez más exactas.

La fórmula concreta para el método de Newton es x_{n + 1} = x_n – f(x_n) / f’(x_n), donde el símbolo prima (‘) indica la primera derivada de la función f.

Cuando el método se aplica a funciones con valores complejos, las interpretaciones gráficas generadas por ordenador suelen utilizarse para indicar dónde es fiable y dónde se comporta de modo extraño. No es raro que la gráfica resultante muestre una conducta caótica algunas veces, y otras veces unas hermosísimas pautas fractales. Nuestro profe Bigotini se extasía contemplando esos fractales asombrosos que recuerdan a la floración primaveral de los cerezos. No es raro verle soltar una lagrimita en esos casos.

-Mamá, ¿a qué edad te enamoraste de papá?

-A los setenta.

-Pero si sólo tienes cincuenta.

-Ay, hija, dame un poco de tiempo.