LA FASCINACIÓN DE LOS NÚMEROS AMIGOS

 

La fascinación por los números amigos fue descubierta ya por los pitagóricos de la antigüedad clásica. Se conocen como números amigos una pareja de números en la que cada uno de ellos es la suma de los divisores propios del otro, sin incluir en esos divisores propios al número mismo. La pareja más pequeña de números amigos es la formada por los números 220 y 284. El número 220 es divisible por 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 y 110, que suman 284. Por su parte, el 284 es divisible por 1, 2, 4, 71 y 142, que suman 220.

El astrónomo y matemático Thabit ibn Qurra, que vivió alrededor del año 850, ideó ya entonces una fórmula que puede emplearse para generar números amigos. Se escribe de la forma siguiente:

P = 3 x 2^n-1 -1, q = 3 x 2ⁿ –1, y r = 9 x 2^2n-1 -1, para un número entero n>1.

Si p, q y r son números primos, entonces 2ⁿpq y 2ⁿr son una pareja de números amigos.

Cuando n = 2, el caso de números más bajos, obtenemos la famosa pareja 220 y 284. Se sigue luego con n = 3, n = 4, etc. Aquí os dejo una tabla que abarca hasta cerca de 20.000.000. Desgraciadamente la fórmula no genera todos los números amigos posibles. En todas las parejas que conocemos, ambos son pares o ambos son impares. Es todavía un misterio si llegará a descubrirse una pareja de números amigos en la que uno sea par y el otro impar.

Encontrar números amigos no es una tarea fácil. En 1747 el gran Leonhard Euler “sólo” fue capaz de encontrar treinta parejas. Hoy en día, gracias al trabajo de las computadoras, se conocen más de once millones de parejas, pero sólo 5.001 de ellas están formadas por dos números menores que 3,06 x 10¹¹.

Una especie de curiosidad bíblica es que según el Génesis (32:14), Jacob, para reconciliarse con su hermano Esaú, le regaló 220 cabras. Para muchos gnósticos, se trató de un acuerdo secreto para sellar la amistad entre ambos mediante los números amigos. También en una versión de Las mil y una noches se decía que un árabe del siglo XI dejó escrito haber probado el efecto erótico de saborear algo marcado con el número 284, mientras su joven amante degustaba algo marcado con el 220. Y hasta aquí llega la crónica. El profe Bigotini es demasiado pudoroso para ofrecer noticias más explícitas sobre la naturaleza de los manjares con que se deleitó la pareja.

Lo peor que puede ocurrirle a cualquiera es que se le comprenda por completo. Carl Gustav Jung.