FIBONACCI Y EL NÚMERO ÁUREO. LAS RELACIONES ASOMBROSAS

 

El número de oro o número áureo es un número irracional que se representa con la letra griega phi (F). Se conoce ya desde la Grecia clásica, y aparece documentado alrededor del año 300 a.C. en los Elementos de Geometría de Euclides, acaso el primer superventas y con seguridad el libro más leído y reproducido sobre ciencia. Es, después de la Biblia y de las obras de Lenin, el libro del que se han hecho más ediciones y se ha traducido a más idiomas. En la edición castellana de 1576 debida a Rodrigo Zamorano, cosmógrafo de Felipe II, puede leerse: se dice que una recta está dividida en media y extrema razón cuando la longitud de la línea total es a la de la parte mayor, como la de esta parte mayor es a la de la menor. Dicho de otro modo, el todo es a la parte como la parte es al resto. Una sencilla pero certera definición de la llamada proporción áurea.

El número F, lo mismo que otros números tradicionales como el también famoso p, contiene un número infinito de decimales. Puede definirse mediante la siguiente expresión:

…en la que el signo = debería leerse como aproximadamente igual, puesto que se escribe con un número limitado de decimales (doce en este ejemplo), cuando su número es infinito. O al menos debe serlo, porque nadie ha conseguido desarrollarlo hasta el infinito, claro. Quien esto escribe ha visto en un libro de matemáticas, un cuadro con los mil primeros decimales para los muy fans de F, pero que sean infinitos de momento es una hipótesis. Mediante cálculos de superordenadores, se han conseguido muchos miles, pero me temo que el infinito es por definición, inalcanzable en la práctica.

En el título me refería a Fibonacci, Leonardo Pisano, matemático del siglo XII autor de la célebre sucesión que en su origen se aplicó al problema del ciclo reproductivo de los conejos. La sucesión de Fibonacci, que desde su aparición conocemos muy bien, parte de dos primeros dígitos, 1 y 1, y continúa sumando los dos números anteriores para obtener el siguiente, resultando:

 

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144…

 

Pues bien, las relaciones de la sucesión de Fibonacci con el número áureo F son asombrosas y numerosísimas. No me atrevo a decir que son infinitas, pero lo cierto es que cuanto más se investiga, van apareciendo más y más relaciones entre ambos. He aquí sólo algunas de las más sencillas y evidentes:

 

F³ = 2F + 1

F⁴ = 3F + 2

F⁵ = 5F + 3

F⁶ = 8F + 5

F⁷ = 13F + 8

F⁸ = 21F + 13…

 

Fijaos en que a la derecha de las igualdades van apareciendo por su orden los números de la sucesión de Fibonacci. Los coeficientes de las sucesivas potencias de F, son dos términos consecutivos de la sucesión de Fibonacci, de forma que, siendo a_n el término de lugar n de la sucesión de Fibonacci, podemos poner como expresión general de esas potencias del número áureo:

 

Fⁿ = a_n F + a_n-1

 

Si elegimos diez términos consecutivos de la sucesión y los sumamos, obtendremos siempre un múltiplo de 11. Veamos por ejemplo, los diez primeros:

 

1+1+2+3+5+8+13+21+34+55 = 143 = 11 . 13

 

…o estos otros:

 

21+34+55+89+144+233+377+610+987+1597 = 4147 = 11 . 377

 

En ambos casos, la suma de diez términos consecutivos de la sucesión, es exactamente 11 veces el término que ocupa el séptimo lugar (13 en la primera suma, y 377 en la segunda).

 

Estas y otras relaciones fantásticas, conducen entre otras asombrosas propiedades, a poder obtener aproximaciones de F por el sencillo procedimiento de dividir términos de la sucesión de Fibonacci por los términos anteriores: a_n / a_n-1.

Las relaciones van mucho más lejos y saltan de los tratados de matemáticas a la misma naturaleza, que utiliza la proporción áurea y el número F en el diseño de caracolas, rosas, semillas de girasol, distribución de los nervios en las hojas, de las hojas en las ramas o de las ramas en los tallos. Es, si se piensa, algo mágico. Así les pareció a muchos sabios del Renacimiento con Leonardo como abanderado, y así nos sigue pareciendo todavía. Los pelos del bigote de nuestro profe Bigotini van apareciendo en idéntica proporción áurea en que desaparecen los de su cada vez más despoblada cabeza. ¡Maldito Fibonacci!, exclama el pobrecillo frente al espejo. 

Los hombres de Atila irrumpieron en Roma de huno en huno.