LA LEY DE LOS GRANDES NÚMEROS

 

Junto a su hermano Johann, y junto a Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz, el suizo Jacob Bernoulli, nacido en 1654, fue uno de los más grandes matemáticos del siglo XVII. En 1713, unos años después de su muerte, se publicó su demostración de la Ley de los grandes números, formando parte del tratado titulado Ars Conjectandi, el arte de hacer conjeturas. La ley de Jacob Bernoulli es un teorema de probabilidad que describe la estabilidad a largo plazo de una variable aleatoria. Si tiramos, por ejemplo, una moneda al aire, y siempre que el número de observaciones sea suficientemente grande, la aparición porcentual de un resultado, por ejemplo, “caras”, será muy cercana a la probabilidad del resultado, en este caso 50%. Es decir, dada una sucesión de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas con varianza y media poblacional finitas, el promedio de las observaciones se acercará a la media teórica de la población.

Lanzando un dado de seis caras, esperamos que la media de los valores obtenidos sea el valor promedio, es decir, 3,5. Si lanzamos el dado sólo unas pocas veces, el azar, siempre caprichoso, podría dejar la cifra promedio algo alejada de lo esperado. Supongamos por ejemplo, tres únicos lanzamientos con valores 1, 2 y 3: el promedio será 2. Pero si lanzamos el dado un número elevado de veces, cuantas más veces lo lancemos, más se aproximará el promedio al 3,5 esperable. Los profesionales del juego y de los seguros adoran la ley de los grandes números. Los encargados de los casinos pueden confiar en resultados estables a largo plazo, y las aseguradoras dependen de ésta ley para planear variaciones cuando hay pérdidas.

En su obra, Bernoulli estima la proporción de pelotas blancas en una urna que contiene un número desconocido de pelotas blancas y negras. Extrayendo pelotas de la urna y reemplazándolas aleatoriamente después de cada extracción, puede estimarse la proporción de pelotas blancas que contenía la urna, mediante la proporción de pelotas blancas extraídas. La predicción será tanto más certera cuanto mayor sea el número de pelotas extraídas. Si la operación se realiza un número suficiente de veces, puede obtenerse la precisión que se desee en la estimación. Bernoulli llega aún más lejos afirmando que si las observaciones de todos los acontecimientos continuaran hasta el infinito, la probabilidad se convertiría en una certeza absoluta, todos los sucesos del mundo se darían en proporciones fijas, e incluso en los hechos más accidentales podríamos reconocer una especie de predestinación.

Esta visión tan extremadamente optimista, correspondía a una época en la que las ciencias avanzaban de una forma tan decidida, que muchos científicos y filósofos tuvieron la tentación de conjeturar que con los instrumentos de medida y de observación precisos, ningún fenómeno natural escaparía al escrutinio de los hombres. Hoy sabemos que tales utopías son imposibles, porque conocemos el principio de incertidumbre o la teoría del caos. Hoy vivimos inmersos en la duda perpetua, y nos aproximamos a la ciencia descartando por completo cualquier esperanza de certeza. Felices aquellos pioneros del método científico y de las ciencias experimentales.

Lo único capaz de consolar a un hombre de las estupideces que hace es el placer que le proporciona hacerlas. Oscar Wilde.