EL DESARROLLO EN SERIE DE Pi

 

Pi, que se representa con la letra griega p, es con toda probabilidad el número irracional más célebre, el más presente tanto en la naturaleza como en la ciencia y la tecnología, y también el que se conoce desde tiempos más antiguos. El hecho de que fuera descubierto por diferentes personas de diferentes culturas, demuestra el carácter universal de las matemáticas. Para reforzar este carácter de disciplina universal, contamos con otro ejemplo también relacionado con p. Se trata de su desarrollo en serie, que también se propuso por matemáticos distintos en contextos diferentes.

El más antiguo del que tenemos noticia fue el que aparece en el libro escrito por el matemático indio Nilakantha Somayaji, y que probablemente recoge el trabajo de algunos matemáticos indios incluso anteriores al siglo XIV, época en que se publicó el libro. La obra permaneció desconocida en Occidente, hasta que de forma independiente, el matemático y astrónomo escocés James Gregory dio a conocer el desarrollo en un trabajo de 1671. Paralela e independientemente, el científico alemán Gottfried Wilhelm Leibniz publicó la fórmula en 1673, lo que al decir de muchos, incluso del mismo Newton que nunca le tuvo mucha simpatía, fue el primero y principal de los grandes logros científicos de Leibniz.

Siguiendo a Clifford Pickover, las series infinitas, sumas de infinitos números, desempeñan un papel decisivo en las matemáticas. En una serie tan simple como 1 + 2 + 3 +…, la suma de todos los términos es infinito. Decimos entonces que la serie diverge. Llamamos serie alterna a aquella en que se alternan los términos positivos y negativos. Un caso particular de estas series alternas, precisamente el que ha fascinado y sigue fascinando a cualquier matemático, es precisamente el desarrollo en serie de p, de la que tratamos. Se trata como es sabido, de la constante que relaciona la longitud de una circunferencia con su diámetro. Su desarrollo puede expresarse mediante una fórmula muy sencilla: p/4 = 1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 +…

Nótese además, que en trigonometría la función arcotangente puede expresarse: arctg(x) = x –x³/3 + x⁵/5 – x⁷/7 +… Mediante este desarrollo en serie de potencias del arcotangente, la serie de p/4 puede obtenerse si se fija x = 1. Nuestro viejo profe Bigotini está interesado en aplicar el desarrollo en serie de pi a su asombrosa nariz.

Nada se parece tanto a la ingenuidad como el atrevimiento. Oscar Wilde.