EL CONJUNTO DE CANTOR: UNA INICIACIÓN A LOS FRACTALES

 

El conjunto de Cantor, que recibe su nombre del filósofo y matemático Georg Cantor (1845-1918), resulta en opinión de Miguel de Guzmán, a quien seguimos en este breve comentario, el mejor ejemplo para entender en qué consiste en esencia un fractal. Se trata ni más ni menos que de la iteración infinita de un sencillo proceso geométrico.

Un segmento rectilíneo de longitud 1, se divide inicialmente en tres partes iguales. Eliminamos la parte central abierta, es decir, sin incluir los extremos, y cada una de las otras dos se divide en tres partes iguales, eliminando otra vez las partes centrales en cada una de ellas. Procédase igual con cada uno de los cuatro segmentos que quedan, y repitamos el proceso infinitas veces. Cuando ya no podamos hacerlo de forma manual, habrá que recurrir a la iteración matemática. Un ordenador como los que actualmente tenemos a nuestra disposición, puede hacerlo de manera automática sin mayor esfuerzo mediante la introducción de la instrucción correspondiente. También puede realizarse idéntica operación partiendo de figuras geométricas concretas como cuadrados o triángulos.

Lo que obtenemos cuando el proceso se ha repetido ya un número considerable de veces, es un conjunto de puntos con muchos agujeros. Es el célebre conjunto de Cantor, un conjunto tan curioso que aun siendo de longitud nula, tiene tantos puntos como todo el espacio tridimensional y posee tal estructura que cada una de sus partes, observada con una lente de aumento, reproduce exactamente el conjunto total. Se trata de la llamada propiedad de autosemejanza que cumplen todos los fragmentos de cualquier fractal. Son estructuras que se repiten de forma incesante en el conjunto, en muchos de los elementos que forman parte de nuestro universo físico, y muy en particular en los organismos vivos tanto a nivel macro como microscópico.

Si nos fijamos atentamente en las primeras secuencias de la división de segmentos, veremos que en la primera fase de la construcción del conjunto de Cantor hemos suprimido un intervalo de longitud 1/3. En la segunda etapa de la construcción hemos quitado dos segmentos de longitud 1/3², en la tercera se quitan 2² = 4 segmentos de longitud 1/3³,… En total se ha suprimido una longitud cuyo valor es:

 

1/3 + 2/3² + 2²/3³ + 2³/3⁴ + … = (1/3)/(1-2/3) = 1

 

lo que nos indica que la longitud del conjunto de Cantor, que es la que queda después de suprimir los intervalos indicados, es nula.

A pesar de tener longitud nula,  los puntos del conjunto de Cantor constituyen un conjunto no numerable. No es difícil demostrarlo. Si consideramos la construcción del conjunto, observamos que cada punto que permanece tras el proceso infinito de suprimir intervalos, se puede caracterizar de modo inequívoco por una sucesión infinita de símbolos I, D (o cualesquiera otros), de la siguiente forma:

IDIIDIDDD…

Significando que el punto está en el intervalo de la izquierda de los dos que resultan después de la primera fase de construcción del conjunto de Cantor, en el subintervalo de la derecha de ese intervalo de los dos que resultan de él después de la segunda fase, en el subintervalo de la izquierda de los dos que resultan del intervalo anterior después de la tercera fase, y así sucesivamente. Por tanto, hay tantos puntos en el conjunto de Cantor como palabras infinitas pueden formarse con dos letras.

En cuanto a la propiedad de autosemejanza del conjunto de Cantor, resulta bastante obvia. Si tras la construcción del conjunto tomamos lo que hay de él en el intervalo [0, 1/3] y lo sometemos a una homotecia (correspondencia entre figuras geométricas) de centro 0 y razón 3, obtenemos exactamente el conjunto de Cantor en su totalidad. El conjunto de Cantor es autosemejante. Igual que en el juego de las muñecas rusas, contiene en su interior infinitas copias de sí mismo de tamaño reducido pero de infinito alcance. Todas y cada una de las partes son un todo semejante al todo. Es esta una propiedad inherente a todos los fractales.

Así pues, el conjunto de Cantor es pequeño (de longitud nula), pero a la vez y paradójicamente, es grande (no numerable, expresión que se emplea en geometría, y resulta equivalente al infinito matemático), y además es autosemejante. Constituye un ejemplo muy simple de la realidad física. Desde la pequeñez microscópica de lo subatómico, hasta la inabarcable magnitud del universo, todo cuanto nos rodea y nosotros mismos, formamos parte de un todo infinito y fantástico en el que se repiten las estructuras y rigen idénticas leyes. Pensad en ello.

-Señor juez, me detuvieron sólo por querer hacer mis compras con anticipación.

-¿Con cuánta anticipación, dígame?

-Bueno, antes de que abrieran la tienda.