FACTORIALES. LA FÓRMULA DE STIRLING

 

En su obra Methodus Differentialis, publicada en 1730, el matemático escocés James Stirling presentó por vez primera su aproximación del valor n! La vida y la carrera de Stirling transcurrieron en tiempos muy agitados en los que se produjo el choque crucial entre ciencia y religión, que sobre todo en Inglaterra alcanzó a la política y tuvo gran repercusión. Stirling fue amigo personal de Isaac Newton (uno de los pocos a quien admitió en su cerrado círculo social). La publicación de su obra le procuró grandes quebraderos de cabeza, hasta el punto de que, a partir de 1735, abandonó las matemáticas para dedicarse en exclusiva a la gestión industrial que en las islas cobraba cada vez mayor auge.

Stirling fue un pionero de los factoriales que actualmente podemos encontrar en muchos campos de las matemáticas, pero que en su época constituían toda una novedad.

Dado un entero no negativo n, “n factorial” (escrito n!) es el producto de todos los enteros positivos menores o iguales que n. Por ejemplo, 4! = 1 x 2 x 3 x 4 = 24. La notación n! la introdujo unas décadas más tarde, en 1808, el matemático francés Christian Kramp. Los factoriales se utilizan por ejemplo en combinatoria, para determinar el número de ordenaciones distintas de los elementos de una secuencia. Aparecen también en teoría de números, en probabilidad y en cálculo. Modernamente se han hecho imprescindibles en la física teórica y la mecánica cuántica.

Al tratarse de los productos de todos los números positivos menores o iguales, los valores factoriales crecen con una velocidad muy notable, así que por ejemplo, 70! Es un número mayor que 10¹⁰⁰, o bien 25.206! es mayor que 10^100.000, como puede apreciarse, son números enormes, positivos seguidos de tantos ceros que difícilmente podrían escribirse en una libreta por grande que fuera.

La fórmula de Stirling, que generalmente se representa como,

proporciona una buena estimación del factorial de n factorial. En la fórmula, el símbolo = significa “aproximadamente igual a”, mientras que e y p son dos constantes matemáticas, e = 2,71828 y p = 3,1416, para valores grandes de n, esta expresión da como resultado una aproximación de aspecto aún más sencillo 1n (n!) = n1n(n) – n, que también puede escribirse como n! = nⁿ e^-n.

Para Keith Ball, la fórmula de Stirling es uno de los descubrimientos decisivos del siglo XVIII, centuria por cierto bien prolífica en descubrimientos. Una fórmula como esta, nos ofrece una idea de la asombrosa transformación de las matemáticas  que se produjo entre los siglos XVII y XVIII. Los logaritmos se inventaron a comienzos del XVII. Noventa años más tarde aparecieron los Principia de Newton que sentaron las bases del cálculo diferencial. Durante el siguiente siglo, el XVIII y los albores del XIX el desarrollo de las matemáticas creció de forma exponencial. La fórmula de Stirling es un buen ejemplo de ello.

 

Cuando la ciencia era niña, la religión intentó estrangularla en la cuna. Robert G. Ingersol.