Evangelista Torricelli, sabio italiano
nacido en 1608, dedicó la mayor parte de sus esfuerzos científicos, primero a
la astronomía, colaborando con su maestro Galileo, y después a la invención del
barómetro. Mucho menos conocidas son sus aportaciones a la geometría espacial. Concretamente,
a Torricelli se debe el descubrimiento en 1641 de un curioso cuerpo sólido al
que se dio el nombre de trompeta de
Torricelli. Se trata efectivamente, de un sólido con forma de
trompeta que cumple la paradoja de tener un volumen finito y una superficie
infinita. Por eso, al menos teóricamente, sería posible cubrir su interior de
pintura, por ejemplo, a pesar de su infinita superficie.
El
objeto se genera girando la función f(x)
= 1/x con xe[1, ∞] alrededor del eje x. Mediante métodos de cálculo tradicionales,
puede demostrarse que la trompeta de Torricelli tiene un volumen finito y un
área infinita. Véanse la ilustración y la fórmula desarrollada.
John de Pillis
explica que, desde un punto de vista matemático, si introducimos pintura en la
trompeta, puede llenarse el embudo, de modo que la infinita superficie interior
se cubriría por completo a pesar de disponer de un número finito de moléculas
de pintura. Esta aparente paradoja puede resolverse, al menos en parte, si se
recuerda que la trompeta de Torricelli es en realidad una construcción
matemática. Ese número finito de moléculas de pintura que llena la trompeta, es
una aproximación a su auténtico volumen finito. La clave radica en averiguar
para qué valores de a se cumple que f(x) = 1/xa genera una trompeta de volumen finito y área infinita.
A la trompeta de
Torricelli se la conoce también como cuerno de Gabriel, porque sugiere la
imagen del Arcángel Gabriel haciendo sonar su cuerno o trompeta para anunciar
el Juicio Final. Al propio Torricelli, su descubrimiento le dejó perplejo. Él y
sus colegas pensaron que estaban ante una profunda paradoja. En aquel tiempo no
disponían de los instrumentos de cálculo necesarios para apreciar y comprender
el objeto completamente. En nuestros días, a pesar de haberse completado su
desarrollo matemático, el objeto no deja de sorprendernos. La trompeta se abre
a un amplio abanico de aplicaciones, desde la mera geometría de sólidos, hasta
la física de partículas. Le pedimos al profe Bigotini que sople, pero él
declina la invitación por temor a que le ocurra lo que al famoso burro
flautista, que hizo sonar el instrumento por pura casualidad.
El trabajo es el refugio de los que no tienen otra cosa que hacer. Oscar Wilde.
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