FILOTAXIS. HOJAS, PÉTALOS Y CONCHAS

 

La filotaxis es la rama de la botánica que estudia la disposición de las hojas en los tallos. Deriva del griego phyllon (hoja) y taxis (orden). Esa disposición de las hojas obedece a pautas geométricas y numéricas, pudiendo a menudo expresarse en términos matemáticos. Las hojas nunca crecen unas encima de otras. Si lo hicieran, unas a otras se taparían la luz, mermando así la capacidad de la planta para aprovechar la luz solar y hacer la fotosíntesis. También algunas hojas quedarían privadas de la lluvia y del oxígeno. Para evitar esos inconvenientes, el crecimiento vegetal sigue de forma estricta una organización que se nos muestra tan admirable, como lo es el conjunto de los fenómenos naturales.

Aunque algunos filósofos griegos habían hecho ciertas observaciones al respecto, fue Leonardo da Vinci el primero en desentrañar las claves de la disposición.

El genio renacentista advirtió que las hojas se colocaban siguiendo espirales a lo largo del tallo en grupos de cinco, lo que indica que el ángulo de giro de las hojas tiene que ver con múltiplos de 1/5. Algo más tarde, Kepler observó que el pentágono tenía una presencia importante en las flores, que a menudo tienen cinco pétalos, o en las frutas, cuyas semillas a menudo se distribuyen formando un pentágono estrellado, como en el caso de la manzana.

La filotaxis comenzó a ser asunto tomado muy en serio por los matemáticos a partir del siglo XIX, gracias al naturalista alemán Karl Schimper (1803-1867) y al cristalógrafo francés Auguste Bravais (1811-1863). Ambos advirtieron la presencia de números consecutivos de la sucesión de Fibonacci en las piñas. Ellos desarrollaron la regla general de los factores de la filotaxis, que podían ser expresados como cocientes de los números de Fibonacci.

A partir de ese momento, quedaron indisolublemente unidas la sucesión de Fibonacci y la botánica. Un estudio de 1968 del matemático norteamericano Alfred Brosseau con más de 4.000 piñas de diez especies diferentes de pinos californianos, arrojó una coincidencia del 98,3% en su pauta de crecimiento con la sucesión de Fibonacci, pudiendo achacarse el insignificante tanto por ciento restante a errores o mutaciones genéticas. La validez del estudio fue confirmada en 1992 por el botánico canadiense Roger V. Jean, que lo amplió a 12.750 especímenes de 650 especies diferentes.

Las hojas de la mayoría de las plantas de tallo alto crecen formando una espiral, y cumplen la ley de divergencia que establece que, para cada especie de planta, el ángulo que forman dos hojas consecutivas es constante. Es el llamado ángulo de divergencia, y se expresa en grados como una fracción en la que el numerador es el número de vueltas alrededor del tallo desde una hoja a la siguiente, y el denominador el número de hojas que se encuentran en ese recorrido.

La serie de Schimper-Braun, formada por los cocientes entre uno de los términos de Fibonacci y el de dos lugares más adelante: a_n / a_n+2 nos da una clasificación de muchas especies según su ángulo de divergencia. Si recordamos que el cociente entre dos términos consecutivos, a_n-1 / a_n tiende a F, tendremos que la serie anterior tenderá a 1 / F².

Trabajando en sentido inverso, desde las matemáticas hacia la botánica, un equipo científico liderado por N. Rivier descubrió en 1984 que utilizando un algoritmo matemático con un ángulo de crecimiento igual al ángulo áureo, se obtienen estructuras similares a girasoles reales. Otros experimentos con campos magnéticos también muestran configuraciones con espirales áureas. En 1907, el matemático alemán Gerrit van Iterson ya mostró que cuando se mira un girasol se ven espirales a favor y en contra de las agujas del reloj, formadas por las semillas, las pipas de girasol. Las cantidades de cada una de ellas son también términos consecutivos de la sucesión de Fibonacci. Los más frecuentes son los pares 21-34, 34-55 y 89-144.

El fenómeno se extiende a las ramas de los árboles, los pétalos de las flores, la conformación de las hojas, y en el reino animal, las espirales que forman las conchas de los moluscos. A nivel más amplio, se observan pautas semejantes en los remolinos de los ríos y hasta en la disposición de las galaxias. Así que el bueno de Fibonacci, sin habérselo propuesto, dio con la clave y formuló el principio matemático del crecimiento y desarrollo de los seres vivos, y del funcionamiento de muchos fenómenos naturales.

¿A quién va usted a creer, a mí o a sus propios ojos? Groucho Marx.

 

 

LA CONSTANTE DE EULER-MASCHERONI

 

Con un valor numérico de 0,5772157…, y representada con la letra griega g, la constante de Euler-Mascheroni tiene una dilatada y fascinante historia. Tan fascinante, aunque no tan dilatada, como puede serlo la de otras constantes matemáticas como p, seguramente la más famosa, o como e. Fue el matemático suizo Leonhard Euler (1707-1783) quien la estudió y glosó en su artículo De Progressionibus harmonicis observationes, Observaciones acerca de las progresiones armónicas, que vio la luz en 1735. En ese tiempo Euler sólo fue capaz de calcular seis decimales. En 1790 el religioso y matemático italiano Lorenzo Mascheroni (1750-1800) halló algunos dígitos más. Actualmente (en 2008), “sólo” se han calculado unos diez mil millones de decimales de g, muy pocos en comparación con los algo más de mil doscientos billones que se han calculado de p hasta la fecha. Los especialistas en estos cálculos por ordenador aseguran que resulta mucho más sencillo hallar decimales de p que de g.

En cualquier caso, y aunque todavía no ha quedado demostrado matemáticamente, se conjetura que el número de decimales tanto de uno como de otro es infinito.

El número g relaciona las potencias y los logaritmos con la teoría de números, y se define como el límite de la expresión (1 + ½ + ¹/₃ + … + 1/n – 1n n) cuando n tiende a infinito. Esta constante juega un papel importante en áreas tan diversas como las series infinitas, los productos, la probabilidad y la representación de integrales definidas. Por ejemplo, el número medio de divisores de todos los números entre 1 y n está muy cerca de 1n (n) + 2g – 1.

A día de hoy no sabemos si el número puede expresarse como una fracción. Julian Havil, que dedicó un libro entero a esta constante, cuenta que el matemático inglés G.H. Hardy ofreció ceder su cátedra de Oxford a quien fuera capaz de demostrar que g no puede expresarse como una fracción.

-Almirante Colón, ¿falta mucho para llegar a las Indias?

-Falta lo que tenga que faltar y punto, que me tienes hasta los cojones ya con la preguntita a todas horas.

(Colón irritable).

CURVAS FAMOSAS Y MATEMÁTICOS OLVIDADOS

 

Ese viejo refrán que dice ‘unos cardan la lana y otros llevan la fama’ podría aplicarse perfectamente a la Historia de la ciencia. Concretamente al descubrimiento de la que llamamos Curva de distribución normal, que también conocemos con el popular nombre de Campana de Gauss o Distribución de Gauss en honor a Carl Friedrich Gauss que la estudió a fondo. Representa a una familia importante de distribuciones continuas de probabilidad, que se aplican en muchos campos en los que se llevan a cabo observaciones y se recogen datos. Dichos campos incluyen estudios demográficos, estadísticas sanitarias, medidas astronómicas, inteligencia, genética, estadísticas para las compañías de seguros y un largo etcétera de materias en las que exista variación en los datos experimentales y en las características observadas.

La distribución normal viene definida por dos parámetros clave: la media o promedio, y la desviación típica, que cuantifica la dispersión o variabilidad de los datos. La representación gráfica de la distribución normal se realiza por medio de una curva en forma de campana de característica simetría, con la mayoría de los valores concentrados en la zona central, y los valores más altos y más bajos dispersos en los extremos de la curva. Es la célebre campana de Gauss tan familiar a los estudiantes y a los profesionales de la estadística. El antropólogo Sir Francis Galton escribió acerca de la distribución normal: no conozco nada que cautive de tal modo la imaginación como la maravillosa expresión del orden cósmico que expresa la Ley de frecuencia de error. De haberla conocido, los griegos la hubieran personificado y deificado. Reina con serenidad y completa modestia en medio de la más salvaje confusión.

Así que la fama y los honores del descubrimiento han correspondido a Carl Friedrich Gauss (1777-1855), pero realmente el matemático francés Abraham de Moivre (1667-1754) fue quien describió primero, concretamente en 1733, la curva de distribución normal o Ley de los errores. Lo hizo en su obra Approximatio ad summam terminorum binomii (a + b)ⁿ in seriem expansi (Aproximación a la suma de los términos del binomio (a + b)ⁿ desarrollado como una serie). De Moivre investigó la distribución normal cuando trataba de hallar aproximaciones para la distribución binomial que surge, por ejemplo, en experimentos de cara o cruz con monedas. En 1782, Pierre Simon Laplace utilizó la distribución para estudiar errores de medida. Gauss la aplicó en 1809 para estudiar datos astronómicos.

A lo largo de su vida, De Moivre, que jamás logró salir de la pobreza, sobrevivió jugando al ajedrez en los cafés. Así de injusta y así de cruel resulta a veces la ciencia, exclama nuestro viejo profesor Bigotini que no juega al ajedrez, pero frecuenta los bares como De Moivre.

-¿Sabías que Mariano es mudo?

-¿Ah, sí? Que calladito se lo tenía.

CRECIMIENTO ARMÓNICO. EL NÚMERO ÁUREO EN LA NATURALEZA

 

¿Cómo es posible crecer sin perder la forma? Imaginemos un caso aparentemente sencillo, el de un rectángulo. El sentido común nos dice que si aumenta su longitud en la misma proporción y en todas las direcciones conservará su forma. Pues bien, aunque parezca lo más lógico, veremos que la relación de longitudes entre los dos lados no se mantiene constante, así que perdería su forma.

Sin embargo, añadiendo a un rectángulo áureo cuadrados de lado igual al de su lado mayor, obtenemos otro rectángulo áureo. Aumentamos el tamaño conservando la forma. Es la fórmula que adoptan muchos seres vivos, sobre todo vegetales pero también estructuras como las conchas de los moluscos, por ejemplo, para conservar la forma primitiva a lo largo del crecimiento.

Claro que conservar las proporciones no siempre conviene a los seres vivos. El desarrollo de los seres humanos es un constante cambio de proporciones, y es una verdadera suerte, porque si conserváramos las proporciones de los recién nacidos, tendríamos serias dificultades para mantener la cabeza erguida. Fijaos en la ilustración.

La principal diferencia de la espiral áurea con otras espirales, es que se va ensanchando a medida que gira. El biólogo escocés D’Arcy Thompson (1860- 1948), conocido como el primer biomatemático, descubrió que la propiedad de algunos seres vivos de aumentar por crecimiento terminal sin modificación de la forma total es característica de la espiral logarítmica y de ninguna otra curva matemática: “Toda curva plana que parte de un polo fijo y de tal naturaleza que el área polar de un sector sea siempre un gnomon respecto del área precedentemente obtenida, es una espiral logarítmica”.

Los insectos trazan una espiral áurea cuando se acercan a un punto de luz. Si en lugar de alejarnos de un punto determinado, queremos acercarnos a él conservando el ángulo de giro, sólo podemos hacerlo así. Las aves de presa mantienen esa trayectoria cuando se lanzan a cazar. Es la única manera en la que pueden mantener la cabeza recta y sin variarla de posición, con lo que siempre tienen control visual sobre las presas y maximizan la velocidad.

Desde la gestación del hombre ideal por parte de Leonardo de Vinci, la historia del arte y paralelamente, la de las ciencias, han visto numerosos estudios sobre la adecuación de diferentes partes del cuerpo humano a la proporción áurea. Incluso antes, ya en la edad media, se usaba la medida humana como patrón entre los constructores de catedrales. Los canteros franceses y los alarifes españoles utilizaban un instrumento de medida con cinco vástagos articulados con las longitudes de la palma, la cuarta, el palmo, el pie y el codo, que correspondían a las magnitudes del brazo además de la longitud del pie.

Todas esas longitudes eran múltiplos de una unidad llamada línea, que equivalía a poco menos de 2,5 mm (exactamente, 2,247). En la tabla de aquí abajo se muestra la equivalencia de esas medidas con la línea y con nuestras unidades actuales. Se puede comprobar que las líneas son términos sucesivos de Fibonacci, por lo tanto, la razón de cada uno respecto al anterior será F, lo que no deja de ser sorprendente, pues las medidas iniciales fueron tomadas en el cuerpo humano.

He aquí pues la sorprendente y casi mágica correlación entre las matemáticas y la naturaleza, en este caso la biología. El pobre profesor Bigotini tiene el hándicap de su tremenda narizota cuya desproporción desafía a Fibonacci, a la proporción áurea y a todas las leyes conocidas hasta el presente.

 

Cuando me da por pensar de noche en mis defectos, me quedo dormido inmediatamente. Es como contar ovejas. Oscar Wilde.

FACTORIALES. LA FÓRMULA DE STIRLING

 

En su obra Methodus Differentialis, publicada en 1730, el matemático escocés James Stirling presentó por vez primera su aproximación del valor n! La vida y la carrera de Stirling transcurrieron en tiempos muy agitados en los que se produjo el choque crucial entre ciencia y religión, que sobre todo en Inglaterra alcanzó a la política y tuvo gran repercusión. Stirling fue amigo personal de Isaac Newton (uno de los pocos a quien admitió en su cerrado círculo social). La publicación de su obra le procuró grandes quebraderos de cabeza, hasta el punto de que, a partir de 1735, abandonó las matemáticas para dedicarse en exclusiva a la gestión industrial que en las islas cobraba cada vez mayor auge.

Stirling fue un pionero de los factoriales que actualmente podemos encontrar en muchos campos de las matemáticas, pero que en su época constituían toda una novedad.

Dado un entero no negativo n, “n factorial” (escrito n!) es el producto de todos los enteros positivos menores o iguales que n. Por ejemplo, 4! = 1 x 2 x 3 x 4 = 24. La notación n! la introdujo unas décadas más tarde, en 1808, el matemático francés Christian Kramp. Los factoriales se utilizan por ejemplo en combinatoria, para determinar el número de ordenaciones distintas de los elementos de una secuencia. Aparecen también en teoría de números, en probabilidad y en cálculo. Modernamente se han hecho imprescindibles en la física teórica y la mecánica cuántica.

Al tratarse de los productos de todos los números positivos menores o iguales, los valores factoriales crecen con una velocidad muy notable, así que por ejemplo, 70! Es un número mayor que 10¹⁰⁰, o bien 25.206! es mayor que 10^100.000, como puede apreciarse, son números enormes, positivos seguidos de tantos ceros que difícilmente podrían escribirse en una libreta por grande que fuera.

La fórmula de Stirling, que generalmente se representa como,

proporciona una buena estimación del factorial de n factorial. En la fórmula, el símbolo = significa “aproximadamente igual a”, mientras que e y p son dos constantes matemáticas, e = 2,71828 y p = 3,1416, para valores grandes de n, esta expresión da como resultado una aproximación de aspecto aún más sencillo 1n (n!) = n1n(n) – n, que también puede escribirse como n! = nⁿ e^-n.

Para Keith Ball, la fórmula de Stirling es uno de los descubrimientos decisivos del siglo XVIII, centuria por cierto bien prolífica en descubrimientos. Una fórmula como esta, nos ofrece una idea de la asombrosa transformación de las matemáticas  que se produjo entre los siglos XVII y XVIII. Los logaritmos se inventaron a comienzos del XVII. Noventa años más tarde aparecieron los Principia de Newton que sentaron las bases del cálculo diferencial. Durante el siguiente siglo, el XVIII y los albores del XIX el desarrollo de las matemáticas creció de forma exponencial. La fórmula de Stirling es un buen ejemplo de ello.

 

Cuando la ciencia era niña, la religión intentó estrangularla en la cuna. Robert G. Ingersol.

AZULEJOS NAZARÍES. LA MATEMÁTICA DEL MOSAICO

 

El profe Bigotini nos propone mirar un poco al suelo que pisamos, y percibir su geometría. Los mosaicos, conocidos ya desde muy antiguo, presentan una gran variedad de formas. En la antigüedad grecorromana predominaban los motivos realizados con teselas, pequeñas piezas cerámicas. Más adelante, surgen mosaicos a base de diferentes polígonos. Entre los polígonos regulares, predomina el cuadrado. Sirven también los triángulos equiláteros y sobre todo los hexágonos que son, como se ha demostrado, los polígonos más eficaces para cubrir los planos llenándolos sin dejar huecos. Así lo entiende la propia naturaleza y así lo aplican las abejas a sus colmenas que utilizan los hexágonos regulares como base de los panales. Sin embargo, el pentágono es una mala elección para un mosaico, porque no hay manera de hacer encajar pentágonos sin dejar huecos.

La clave está en los ángulos. Sirven los 60º del triángulo equilátero, los 90º del cuadrado y los 120º del hexágono, pero no los 108º del pentágono. Tampoco serán útiles polígonos con mayor número de lados (7:128,6º; 8:135º; 10:144º; 12:150º…).

Ahora bien, aparte de los polígonos regulares, existen otras figuras geométricas irregulares que se han utilizado para construir mosaicos. Probablemente el mayor y más fascinante muestrario de ellos lo encontramos en la Alhambra de Granada. La asombrosa arquitectura nazarí concibió unos cuantos tipos de ladrillo que no sólo sirven para ocupar espacios completamente, sino que constituyen un prodigio de fantasía y belleza.

Está en primer lugar el ladrillo tipo hueso, también llamado hueso nazarí, construido a partir de un ladrillo cuadrado en el que se trazan las diagonales, se divide su base en cuatro segmentos iguales y se trazan líneas verticales en los cortes de dichos segmentos. Luego, se extraen los paralelogramos resultantes del cruce de las líneas y se colocan en la parte inferior del recuadro:

El segundo que encontramos en la Alhambra es el de tipo pajarita que parte de un triángulo equilátero, trazando una curva desde los vértices hasta la bisectriz de cada lado. Se extraen las superficies resultantes entre la curva y los lados y se colocan en el exterior:

El tercer tipo es el mosaico de clavos. A partir de los lados de un cuadrado se dibujan dos ángulos rectángulos en su interior cuya hipotenusa tenga la longitud de un lado. A continuación, se extraen los triángulos y se colocan apoyados exteriormente en los lados opuestos:

Resulta curioso que con la precaria tecnología de aquellos tiempos, el ingenio humano fue capaz de concebir las verdaderas maravillas que hoy podemos admirar no sólo en la Alhambra granadina, sino en muchos otros elementos del arte mudéjar. En Aragón tenemos magníficos ejemplos, desde los reseñados hasta fabulosas estrellas de diez puntas.

Todos estos motivos y diseños geométricos no han sido superados sino hasta tiempos bien recientes con los mosaicos de Penrose. Se trata de mosaicos no periódicos concebidos ya en la segunda mitad del pasado siglo XX por el eminente físico y matemático sir Roger Penrose. Los más célebres y extendidos utilizan dos piezas irregulares llamadas cometa y flecha por sus peculiares formas. Ambas combinadas son capaces de cubrir planos por completo. Dan lugar a estructuras complejas entre las que destacan los mosaicos sol, estrella o rueda de carro.

En todas estas innovaciones, la proporción áurea y el número F juegan un papel decisivo.

 

Muéstrate siempre seguro de ti mismo, como si supieras lo que estás haciendo. Manual del político.

CIENCIA Y SIMBOLOGÍA. LA ESTRELLA PENTAGONAL

 

Parece curioso analizado con cierta distancia, el fenómeno de las numerosas representaciones de las estrellas a lo largo de la historia, como figuras pentagonales y habitualmente de cinco puntas. Por qué razón las estrellas que la humanidad ha observado en el firmamento desde muy antiguo, acabaron siempre viéndose representadas mediante pentágonos estrellados, es cuestión bien interesante. Si aplicamos el sentido común, quizá habría que achacarlo al centelleo que percibimos al mirar las estrellas debido a la variación de densidad del aire y a otros fenómenos atmosféricos. En cualquier caso, poco ha cambiado este conjunto de circunstancias desde los primeros tiempos en que nuestros antepasados comenzaron a escrutar el cielo nocturno con intención de descifrar los significados ocultos de aquellas luminarias que brillaban como antorchas en la inabarcable negrura del firmamento.

Las representaciones de estrellas en forma de pentágonos estrellados son muy antiguas. Pueden hallarse ya en tablillas mesopotámicas, en jeroglíficos egipcios, y hasta en diversos ejemplos del arte precolombino mesoamericano.

Pentalfa es el nombre que recibe el símbolo de la estrella pentagonal, llamada también estrella pitagórica, que servía al fin de identificar a los miembros de la sociedad secreta que se estableció en torno a Pitágoras y sus doctrinas gnósticas. Para aquellos adeptos, la péntada, es decir, el número cinco en sus diferentes formas y representaciones, simbolizaba el número de la armonía universal, la armonía en la salud y la belleza, y también, claro está, en el universo del conocimiento, de la búsqueda de la verdad más allá de lo obvio, tal como la ha definido algún semiólogo moderno.

El cinco es la equilibrada combinación del dos, el primer número par o díada, y el tres, la tríada o primer impar completo. el príncipe Matila Ghyka, escritor y profesor de estética rumano, señala que el pentalfa o pentagrama es a la vez el símbolo del Amor creador y el de la Belleza viva, del equilibrio en la salud del cuerpo humano. Podría añadirse por extensión, que lo es también del hombre, del ser humano. Así lo interpreta y lo plasma Leonardo da Vinci en su archirreproducido hombre de Vitruvio. Ghyka, en varias de sus obras desarrolla la relación de la estrella pentagonal con la proporción áurea y con la sucesión de Fibonacci. En el pentágono invertido que forma en su centro la estrella, puede dibujarse otra estrella haciendo coincidir sus puntas con los ángulos del pentágono. Dentro de la segunda estrella puede trazarse una tercera, y así sucesivamente hasta el infinito, siguiendo siempre la proporción áurea.

Tiene el pentalfa una dilatada historia como símbolo de sociedades secretas. Figura en el anagrama rosacruz, y muy frecuentemente en los de las logias masónicas. Ahí está el tetragrámatron o pentagrama esotérico. El apelativo de pentalfa se debe a que las cinco puntas, los cinco vértices de la estrella dibujan cinco letras A, alfa en griego. También a veces se le denomina pentángulo, por poseer cinco ángulos agudos. Se han desarrollado las ecuaciones que corresponden a su específica geometría.

En nuestro mundo visual, la estrella pentagonal es una figura extraordinariamente común. La encontramos a nuestro alrededor como representación gráfica de los más dispares significados. Aparece en el paseo de la Fama de Los Ángeles como atributo de las estrellas de Hollywood. Es a la vez, símbolo de muchos partidos revolucionarios, representando sus cinco vértices a los cinco continentes, y expresando así la vocación internacionalista de los movimientos que las exhiben como símbolos. En combinación con el color rojo, simboliza el sufrimiento de los oprimidos en su lucha por la emancipación, y la sangre que se derrama para conseguirla. Es protagonista también de numerosas banderas nacionales, tanto de estados de ideología revolucionaria, como de religión musulmana. En el Islam, la estrella pentagonal representa los cinco pilares o los cinco mandamientos fundamentales de los creyentes. Curiosamente, también en la bandera estadounidense se representa a cada estado mediante una estrella pentagonal. Encontramos en la arquitectura medieval, y muy especialmente en nuestro románico peninsular, huellas templarias de la estrella pentagonal.

-¿Papá, por qué somos tan feos en esta familia?

-Yo soy mamá.

-Ay, perdona.

FIBONACCI Y EL NÚMERO ÁUREO. LAS RELACIONES ASOMBROSAS

 

El número de oro o número áureo es un número irracional que se representa con la letra griega phi (F). Se conoce ya desde la Grecia clásica, y aparece documentado alrededor del año 300 a.C. en los Elementos de Geometría de Euclides, acaso el primer superventas y con seguridad el libro más leído y reproducido sobre ciencia. Es, después de la Biblia y de las obras de Lenin, el libro del que se han hecho más ediciones y se ha traducido a más idiomas. En la edición castellana de 1576 debida a Rodrigo Zamorano, cosmógrafo de Felipe II, puede leerse: se dice que una recta está dividida en media y extrema razón cuando la longitud de la línea total es a la de la parte mayor, como la de esta parte mayor es a la de la menor. Dicho de otro modo, el todo es a la parte como la parte es al resto. Una sencilla pero certera definición de la llamada proporción áurea.

El número F, lo mismo que otros números tradicionales como el también famoso p, contiene un número infinito de decimales. Puede definirse mediante la siguiente expresión:

…en la que el signo = debería leerse como aproximadamente igual, puesto que se escribe con un número limitado de decimales (doce en este ejemplo), cuando su número es infinito. O al menos debe serlo, porque nadie ha conseguido desarrollarlo hasta el infinito, claro. Quien esto escribe ha visto en un libro de matemáticas, un cuadro con los mil primeros decimales para los muy fans de F, pero que sean infinitos de momento es una hipótesis. Mediante cálculos de superordenadores, se han conseguido muchos miles, pero me temo que el infinito es por definición, inalcanzable en la práctica.

En el título me refería a Fibonacci, Leonardo Pisano, matemático del siglo XII autor de la célebre sucesión que en su origen se aplicó al problema del ciclo reproductivo de los conejos. La sucesión de Fibonacci, que desde su aparición conocemos muy bien, parte de dos primeros dígitos, 1 y 1, y continúa sumando los dos números anteriores para obtener el siguiente, resultando:

 

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144…

 

Pues bien, las relaciones de la sucesión de Fibonacci con el número áureo F son asombrosas y numerosísimas. No me atrevo a decir que son infinitas, pero lo cierto es que cuanto más se investiga, van apareciendo más y más relaciones entre ambos. He aquí sólo algunas de las más sencillas y evidentes:

 

F³ = 2F + 1

F⁴ = 3F + 2

F⁵ = 5F + 3

F⁶ = 8F + 5

F⁷ = 13F + 8

F⁸ = 21F + 13…

 

Fijaos en que a la derecha de las igualdades van apareciendo por su orden los números de la sucesión de Fibonacci. Los coeficientes de las sucesivas potencias de F, son dos términos consecutivos de la sucesión de Fibonacci, de forma que, siendo a_n el término de lugar n de la sucesión de Fibonacci, podemos poner como expresión general de esas potencias del número áureo:

 

Fⁿ = a_n F + a_n-1

 

Si elegimos diez términos consecutivos de la sucesión y los sumamos, obtendremos siempre un múltiplo de 11. Veamos por ejemplo, los diez primeros:

 

1+1+2+3+5+8+13+21+34+55 = 143 = 11 . 13

 

…o estos otros:

 

21+34+55+89+144+233+377+610+987+1597 = 4147 = 11 . 377

 

En ambos casos, la suma de diez términos consecutivos de la sucesión, es exactamente 11 veces el término que ocupa el séptimo lugar (13 en la primera suma, y 377 en la segunda).

 

Estas y otras relaciones fantásticas, conducen entre otras asombrosas propiedades, a poder obtener aproximaciones de F por el sencillo procedimiento de dividir términos de la sucesión de Fibonacci por los términos anteriores: a_n / a_n-1.

Las relaciones van mucho más lejos y saltan de los tratados de matemáticas a la misma naturaleza, que utiliza la proporción áurea y el número F en el diseño de caracolas, rosas, semillas de girasol, distribución de los nervios en las hojas, de las hojas en las ramas o de las ramas en los tallos. Es, si se piensa, algo mágico. Así les pareció a muchos sabios del Renacimiento con Leonardo como abanderado, y así nos sigue pareciendo todavía. Los pelos del bigote de nuestro profe Bigotini van apareciendo en idéntica proporción áurea en que desaparecen los de su cada vez más despoblada cabeza. ¡Maldito Fibonacci!, exclama el pobrecillo frente al espejo. 

Los hombres de Atila irrumpieron en Roma de huno en huno.

LA LEY DE LOS GRANDES NÚMEROS

 

Junto a su hermano Johann, y junto a Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz, el suizo Jacob Bernoulli, nacido en 1654, fue uno de los más grandes matemáticos del siglo XVII. En 1713, unos años después de su muerte, se publicó su demostración de la Ley de los grandes números, formando parte del tratado titulado Ars Conjectandi, el arte de hacer conjeturas. La ley de Jacob Bernoulli es un teorema de probabilidad que describe la estabilidad a largo plazo de una variable aleatoria. Si tiramos, por ejemplo, una moneda al aire, y siempre que el número de observaciones sea suficientemente grande, la aparición porcentual de un resultado, por ejemplo, “caras”, será muy cercana a la probabilidad del resultado, en este caso 50%. Es decir, dada una sucesión de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas con varianza y media poblacional finitas, el promedio de las observaciones se acercará a la media teórica de la población.

Lanzando un dado de seis caras, esperamos que la media de los valores obtenidos sea el valor promedio, es decir, 3,5. Si lanzamos el dado sólo unas pocas veces, el azar, siempre caprichoso, podría dejar la cifra promedio algo alejada de lo esperado. Supongamos por ejemplo, tres únicos lanzamientos con valores 1, 2 y 3: el promedio será 2. Pero si lanzamos el dado un número elevado de veces, cuantas más veces lo lancemos, más se aproximará el promedio al 3,5 esperable. Los profesionales del juego y de los seguros adoran la ley de los grandes números. Los encargados de los casinos pueden confiar en resultados estables a largo plazo, y las aseguradoras dependen de ésta ley para planear variaciones cuando hay pérdidas.

En su obra, Bernoulli estima la proporción de pelotas blancas en una urna que contiene un número desconocido de pelotas blancas y negras. Extrayendo pelotas de la urna y reemplazándolas aleatoriamente después de cada extracción, puede estimarse la proporción de pelotas blancas que contenía la urna, mediante la proporción de pelotas blancas extraídas. La predicción será tanto más certera cuanto mayor sea el número de pelotas extraídas. Si la operación se realiza un número suficiente de veces, puede obtenerse la precisión que se desee en la estimación. Bernoulli llega aún más lejos afirmando que si las observaciones de todos los acontecimientos continuaran hasta el infinito, la probabilidad se convertiría en una certeza absoluta, todos los sucesos del mundo se darían en proporciones fijas, e incluso en los hechos más accidentales podríamos reconocer una especie de predestinación.

Esta visión tan extremadamente optimista, correspondía a una época en la que las ciencias avanzaban de una forma tan decidida, que muchos científicos y filósofos tuvieron la tentación de conjeturar que con los instrumentos de medida y de observación precisos, ningún fenómeno natural escaparía al escrutinio de los hombres. Hoy sabemos que tales utopías son imposibles, porque conocemos el principio de incertidumbre o la teoría del caos. Hoy vivimos inmersos en la duda perpetua, y nos aproximamos a la ciencia descartando por completo cualquier esperanza de certeza. Felices aquellos pioneros del método científico y de las ciencias experimentales.

Lo único capaz de consolar a un hombre de las estupideces que hace es el placer que le proporciona hacerlas. Oscar Wilde.