LOS PUENTES DE KÖNIGSBERG Y LA TEORÍA DE GRAFOS (OTRA VEZ EULER)

 

Uno de los problemas más antiguos y más clásicos de geometría espacial tiene como protagonista a la ciudad de Königsberg, que actualmente forma parte de Rusia pero que históricamente pertenecía al Imperio austro-húngaro. La ciudad tiene su origen en una antigua fortaleza construida en el siglo XIII por los caballeros teutónicos. Se levanta sobre unos islotes en medio del río Pregel (actualmente Pregolya). En época pretecnológica, a falta de fútbol, de televisión y probablemente hasta de teatros de vodevil, sus animosos habitantes entretenían las largas horas de las tardes de domingo paseando por las riberas del río, y pasando a los dos islotes y a ambas márgenes fluviales a través de los siete magníficos puentes que embellecen la fisonomía urbana de la ciudad. En el plano de más abajo puede apreciarse la disposición de esos siete puentes.

A comienzos del siglo XVIII, alguien, seguramente uno de esos tipos sin escrúpulos aficionado a los pasatiempos matemáticos, planteó a los königsbergenses (confío en que ese sea el gentilicio correcto) el problema de si era posible atravesar los siete puentes y volver al punto de partida sin cruzar ninguno de ellos más de una vez. Se trata en el fondo del mismo problema topológico de dibujar un conejo en un solo trazo, sin levantar el lápiz del papel. En 1736 ese aguafiestas sabelotodo llamado Leonhard Paul Euler, de quien ya hemos hablado muchas otras veces en este foro bigotiniano, demostró que era imposible encontrar un camino que cumpliera estos requisitos.

Euler representó el problema con un grafo en el que los puntos representaban las zonas de tierra y las líneas, los puentes. Demostró que un grafo así sólo se podía recorrer pasando por cada segmento una sola vez si el grafo tenía menos de tres vértices de valencia impar (la valencia de un vértice es el número de líneas que comienzan o finalizan en él). Y claro, el grafo de Königsberg tiene más de tres vértices de valencia impar, así que para volver al punto de partida inevitablemente habrá que pasar dos veces por alguno de los puentes.

La teoría de grafos es un área de las matemáticas que se interesa por el modo en que se conectan los objetos. A menudo suele simplificar ciertos tipos de problemas mediante representaciones de puntos unidos por líneas. Pues bien, el grafo de los puentes de Königsberg no presentaba las características apropiadas para resolverlo en un solo trazo, de modo que no es posible recorrer el grafo sin cruzar al menos una línea más de una vez. Euler generalizó sus conclusiones a recorridos por cualquier red de puentes.

La importancia que adquiere el problema de los puentes de Königsberg en la historia de las matemáticas se debe a que la solución de Euler se corresponde con el primer teorema de la teoría de grafos. Actualmente la teoría de grafos se usa en campos muy diversos, desde el estudio de las estructuras químicas y la fluidez del tráfico, hasta el modo en que se propagan las enfermedades de transmisión sexual (ETS).

Puede llegar a explicar la trayectoria topológica de las redes sociales que frecuentamos en Internet. Supongo que a quienes leéis habitualmente nuestras locuras, no os extrañará saber que la representación gráfica de esas redes resulta en todo similar a la de las conexiones neuronales que se establecen en nuestros cerebros.

La sencilla representación de Euler con las líneas y los puntos, con el río y los puentes de Königsberg, sin tener en cuenta elementos específicos como la longitud de los puentes o las distancias concretas, se convirtió en precursora de la topología, el campo matemático que estudia las formas y sus relaciones. Desde Bigotini rendimos (otra vez) homenaje al talento y la clarividencia de Leonhard Euler.

La emperatriz María Teresa de Austria se hizo tatuar una caracola en la parte interior del muslo. Era tan realista que sus amantes, al acercar el oído, podían oler el mar.